Théorie des Groupes

Ce cours est construit pour des étudiantes et étudiants qui ont déjà quelques connaissances de la théorie des groupes, mais pour s’échauffer bien la première semaine du cours, on commence par des rappels de la théorie des groupes et une introduction aux actions de groupe sur des ensembles. Nous passons ensuite à une introduction à la théorie des catégories. La notion de « catégorie » généralise simultanément aussi bien la notion de groupe que le cadre familier d’une collection d’ensembles munis d’un certain type de structure supplémentaire (telle qu’une multiplication de groupe ou l’addition et la multiplication par scalaire d’un espace vectoriel) et d’applications ensemblistes qui respectent cette structure. De résultats démontrés dans le cadre général de la théorie des catégories découlent des résultats intéressants pour chaque catégorie particulière. Le recul que l’on prend en étudiant les catégories nous permet de mieux comprendre non seulement pourquoi nous formulons certaines définitions et résultats comment nous le faisons, mais aussi comment aborder la résolution de problèmes dans un certain cadre mathématique, par analogie avec ce que nous connaissons d’autres cadres mathématiques.

Description

Nous reverrons ensuite la notion de quotient de groupes, que nous mettrons dans un contexte catégorique plus large, pour mieux comprendre son sens. Nous formulerons et démontrerons les fameux Théorèmes d’isomorphisme, et étudierons également la notion de groupe résoluble, une classe de groupes « décomposables » d’une certaine manière en morceaux qui sont tous des groupes abéliens.

Le prochain sujet sera les actions de groupe, de nouveau d’un point de vue catégorique, ce qui nous permet de voir comment généraliser cette notion au-delà des actions sur des ensembles. Ces généralisations sont des sujets de recherche très actifs actuellement. La théorie des catégories nous permettra de généraliser correctement les notions d’orbites et de points fixes et de voir comment construire des actions de groupe « librement ».

Ensuite nous aborderons les groupes abéliens, de nouveau en insistant sur la perspective catégorique, ce qui nous permettra en particulier de clarifier le rôle de la somme directe et de construire de groupes abéliens libres. On verra aussi la notion utile d’une suite exacte de groupes abéliens, et les concepts de torsion, de divisibilité, et de p-groupe abélien, qui joueront un rôle clé dans notre preuve de la classification des groupes abéliens finis, résultat par lequel nous terminerons ce chapitre.

Nous irons au cœur de la théorie de groupes dans le dernier chapitre, qui traite des p-groupes de Sylow. Grâce à des outils provenant de la théorie des actions de groupe, nous pourrons démontrer l’existence de ces sous-groupes importants d’un groupe fini et établir de très belles propriétés qu’ils vérifient.

What you will learn

A la fin de ce cours, vous serez capable de:

• Donner des exemples originaux de notions fondamentales de la théorie des catégories : catégorie, foncteur, transformation naturelle, adjonction, produits et coproduits.


• Analyser des problèmes de théorie des groupes en termes de théorie des catégories.


• Expliquer comment appliquer les actions de groupe à l'analyse de la structure des groupes.


• Appliquer correctement et dans des contextes appropriés les principaux théorèmes de la théorie fondamentale des groupes : les théorèmes d'isomorphisme, la classification des groupes abéliens finis et les théorèmes de Sylow.

Plan

Le cours est subdivisé en 22 semaines contenant environ une à deux heures d’exposés:

• Préambule


• 1.1 Catégories


• 1.2 Foncteurs


• 1.3 Transformations naturelles


• 1.4 Adjonctions


• 1.5 Produits et coproduits


• 1.6 Evaluation


• 2.1 Groupes - entrée en matière


• 2.2 Quotients de groupe - quelques rappels


• 2.3 Une perspective catégorique sur les quotients


• 2.4 Evaluation


• 3.1 Actions de groupe - notions de base


• 3.2 Un cadre catégorique pour les actions de groupe


• 3.3 Foncteurs de points fixes et d'orbites


• 3.4 Création d'actions libres et co-libres


• 3.5 Changements de groupe


• 3.6 Evaluation


• 4.1 Constructions catégoriques dans Ab


• 4.2 Suites exactes - torsion et divisiblité


• 4.3 Classification des groupes abéliens finis


• 4.4 Les p-groupes


• 4.5 Propriétés des p-sous-groupes de Sylow